Gol itu dicetak Oyarzabal pada menit ke-14, memanfaatkan blunder kiper Yann Sommer yang melakukan kesalahan umpan.
Bola umpan Sommer malah mengarah ke Mikel Merino, yang meneruskannya ke arah Oyarzabal dan penyerang Real Sociedad itu menyelesaikannya dengan tembakan sentuhan pertama.
Baca juga: Jerman raih kemenangan perdana di Ukraina
Dua menit sebelumnya, Swiss sebetulnya hampir unggul jika saja tembakan tajam Loris Benito tak diamankan secara gemilang oleh kiper David de Gea di sisi lapangan yang berbeda.
Sommer kembali melakukan blunder serupa pada awal babak kedua, tetapi kali ini tembakan penyelesaian Oyarzabal melenceng dari sasaran.
Skor 1-0 bagi Spanyol bertahan hingga bubaran, membuat Spanyol mempertahankan posisinya di puncak klasemen.
Tim besutan Luis Enrique itu kini mengoleksi tujuh poin, di atas Jerman (5), Ukraina (3) dan Swiss (1), demikian catatan laman resmi UEFA.
Spanyol selanjutnya bakal bertandang ke Ukraina pada Selasa (13/10) dan pada saat bersamaan Swiss melawat ke Jerman.
Baca juga: Montenegro perpanjang start sempurna di Nations League
Susunan pemain:
Spanyol (4-2-3-1): David de Gea; Jesus Navas, Sergio Ramos, Pau Torres, Jose Gaya; Sergio Busquets, Mikel Merino; Ferran Torres (Rodri Hernandez), Daniel Olmo (Sergio Canales), Ansu Fati (Adama Traore); Mikel Oyarzabal (Gerard Moreno)
Pelatih: Luis Enrique
Swiss (5-3-2): Yann Sommer; Silvan Widmer (Mario Gavranovic), Nico Elvedi, Fabian Schaar, Ricardo Rodriguez, Loris Benito (Steven Zuber); Djibril Sow (Ruben Vargas), Granit Xhaka, Remo Freuler (Edimilson Fernandes); Haris Seferovic, Admir Mehmedi (Xherdan Shaqiri)
Pelatih: Vladimir Petkovic
Baca juga: Luis Enrique: Adama Traore ingin bermain untuk timnas Spanyol