Rodriguez membukukan satu gol dan mengirimkan assist untuk gol Matthew Lowton dalam pertandingan itu, yang dibuka dengan gol cepat Johann Berg Gudmundsson, demikian catatan laman resmi Liga Inggris.
Burnley, yang kembali ke jalur kemenangan setelah tiga laga nirmenang, kini naik ke urutan ke-15 klasemen dengan koleksi 26 poin.
Sedangkan Palace (29), yang menelan tiga kekalahan dalam lima pertandingan terakhirnya, tertahan di urutan ke-13, demikian catatan laman resmi Liga Inggris.
Baca juga: Dyche: terkadang ada jurang jutaan poundsterling yang sulit dilewati
Pertandingan baru berusia lima menit ketika Gudmundsson mampu memanfaatkan miskomunikasi antara Scott Dann dan Nathaniel Clyne untuk mengejar umpan silang Erik Pieters, sebelum menusuk dan melepaskan penyelesaian melengkung yang tak terjangkau kiper Vicente Guaita demi membuka keunggulan Burnley.
Keunggulan itu digandakan lima menit berselang lewat situasi sepak pojok ketika Rodriguez mampu melompat tanpa kawalan untuk menanduk bola kiriman Dwight McNeil ke gawang Palace.
Palace akhirnya berhasil keluar dari tekanan Burnley dan hampir mencetak gol balasan pada menit ke-18, tetapi tembakan Christian Benteke dari tepian kotak penalti masih terlalu lemah dan mudah diamankan kiper Nick Pope.
Palace menciptakan peluang lagi lewat situasi serangan balik pada menit ke-26, tetapi lagi-lagi penyelesaian Benteke, kali ini dari sudut sempit, bisa diantisipasi oleh Pope.
Keunggulan dua gol Burnley yang bertahan hingga turun minum ditambahkan oleh Lowton hanya dua menit memasuki babak kedua ketika ia menyambut umpan lambung Rodriguez dengan sepakan voli yang tak memberi kesempatan Guaita bereaksi.
Baca juga: Leeds naik ke tengah klasemen setelah hantam Palace 2-0
Palace berusaha membalas, sekali lagi melalui Benteke yang kali ini menyundul bola dan mengarah tepat ke pelukan Pope.
Pada menit ke-78, Palace memperoleh peluang bagus saat Clyne mengirim umpan silang matang tetapi penyelesaian Andros Townsend dari jarak dekat malah melambung tinggi di atas mistar gawang.
Kekhawatiran muncul bagi Burnley ketika kapten mereka, Ben Mee, tergeletak setelah berbenturan dengan Jordan Ayew dua menit kemudian dan setelah menerima perawatan sejenak ia meninggalkan lapangan ditandu dengan alat bantu medis berkalung di lehernya.
Kerja keras Palace tak kunjung membuahkan hasil, bahkan peluang pemungkas mereka pada menit kelima injury time lewat Jairo Riedewald bisa dihadang barisan pertahanan Burnley yang berjibaku menjaga keunggulan 3-0 hingga bubaran.
Burnley akan kembali tampil empat hari lagi saat menjamu Fulham dalam laga tunda pekan ke-17 di Turf Moor pada Rabu (17/2), sedangkan Palace punya waktu istirahat panjang sebab baru merumput pada Senin (22/2) di markas Brighton & Hove Albion.
Baca juga: Alisson blunder lagi, Liverpool takluk di markas Leicester
Baca juga: Jadwal Liga Inggris: mampukah Mourinho merusak momentum City?
Baca juga: Jelang West Brom vs MU, Allardyce berharap keberuntungan berpihak