Giorgi memberikan penampilan yang mengesankan dengan pukulan-pukulan kuat dan selesai dengan 35 winners tetapi gagal karena lawannya dari Belanda menang poin dalam dua set terakhir.
Bertens memenangkan 80 persen poin servis pertamanya di set terakhir untuk meraih kemenangan dan mematahkan perlawanan Giorgi.
"Pelatih mengingatkan untuk melakukan pukulan yang bervariasi, pukulan rendah, pukulan tinggi, dan saya rasa itu berhasil," tutur Bertens.
Selanjutnya, Bertens melangkah ke pertandingan putaran kedua dengan juara Doha 2016 Carla Suarez Navarro.
Lainnya, unggulan ketujuh dari Latvia yaitu Anastasija Sevastova, mengalami kekalahan mengejutkan pada babak pembukaan saat ia dikalahkan 7-6(5) dan 6-4 oleh petenis kualifikasi Rusia Anna Blinkova.
Hasil itu adalah kinerja terbaik bagi Blinkova yang berusia 20 tahun, yang sebelumnya dua kali menang di 30 besar Doha tahun lalu.
Sebelumnya, mantan petenis nomor satu dunia Caroline Wozniacki mengundurkan diri dari turnamen karena sakit.
Petenis Australia Sam Stosur, yang menggantikan Wozniacki dalam undian utama sebagai pecundang, menyerah pada rintangan pertama setelah kalah 6-4 dan 6-2 dari petenis kualifikasi Ceko Karolina Muchova.
Baca juga: Atasi Buzarnescu, Ostapenko melaju ke putaran dua Qatar Terbuka
Baca juga: Wozniacki mundur dari Qatar Terbuka
Baca juga: Osaka mundur dari Qatar Terbuka akibat cedera punggung